霍金和哥德尔定理
[ 2008-09-18 22:43:08 | 上传: admin ]
作者:王彦晶
去年在国际数学家大会的同时，霍金在中科院数学所和理论物理所举行的“北京弦理论国际会议”上作了题为《哥德尔和Ｍ理论》的演讲。当时霍金回顾了历史上，亚里士多德、牛顿、拉普拉斯、麦克斯韦、笛拉克以及爱因斯坦等科学巨匠对统一的世界解释的探索，然后特别强调了哥德尔的不完全性定理对他研究的启示。他认为，迄今为止我们所有的理论体系都存在着悖论，它们不是不一致的，就是不完备的。关于霍金这次讲演的细节，各种报道都语焉不详，从上面的一点点信息我们只能被误导，那么究竟霍金是在什么意义上谈论哥德尔定理，并确信物理理论是“不完全”的呢？下面就我自己掌握的资料谈谈我的看法。
霍金自去年在国际弦论大会上的演讲之后，又在今年的几次演讲中特别提到了哥德尔定理对于他的工作的启发，霍金最初较为明确的表述他的思想是在去年剑桥大学纪念狄拉克百年诞辰的演讲"Godel and the end of physics"中，在三月份他还在Texas A&M大学进行了同样主题的演讲，在四月加州大学戴维斯分校也做过类似主题的演讲。我们应该还记得，在霍金著名《时间简史》的封底写着这么一句话：“...for then we would know the mind of God”,但现在看来似乎m理论的发展并没有给霍金带来对统一理论的更多信念，the mind of god对他来说，似乎是个impossible puzzle。这可以说是霍金对于大统一理论态度的一个转变，那么究竟是什么使他他发生这种转变，哥德尔定理在其中又扮演了什么角色呢？
从为数不多的渠道我们可以获得一点稍微具体的信息。先让我们回顾一下历史，早在弦论的第二次革命前，霍金就曾表达过对大一统理论的怀疑。当时他也谈到了哥德尔定理：“……人们探索了这个基本理论，但是迄今毫无成就。因为哥德尔指出，不可能用单独的一组公理系统来表述算术。我相信这儿的情形不可能比它更好，基本理论不可能存在单独的表述……”［］，霍金作了一个形象的比喻：“这犹如你不可能只用一张单独的地图去描述地球或者锚圈的表面：在地球的情形下，你至少需要两张地图去覆盖每一点，而在锚圈的情形下，则需要四张。每张地图只对一个有限的区域有效，但是不同的地图有一个交叠的区域。整族地图就为该表面提供了完整的描述。” 但霍金认为统一理论是不是真的存在恩共有三种可能（有趣的是这里很像我们当才对哥德尔关于是不是有一个能推出所有数学定理的图灵机的讨论类似）（1）确实存在一个完整的统一理论，如果我们足够聪明的话，总有一天将会找到它。 （2）并不存在宇宙的最终理论，仅仅存在一个越来越精确地描述宇宙的无限的理论序列。 （3）并不存在宇宙的理论；事件在一定程度之外不可能被预言，仅仅是以一种紊乱或任意的方式发生。虽然量子力学的测不准原理给了最后一种可能性一个理由，然而霍金认为按照重新定义科学的目标，就能有效地排除了第三种可能性：“因为我们的目的只在于表达一套定律，这些定律能使我们在不确定性原理的极限内预言事件。”霍金认为第二种可能性更容易接受，但是基于他自己对于黑洞的工作，他认为“越来越精密的理论序列应当有某一极限，所以必须有宇宙的终极理论。”在当时的和以后所能实现的加速器的能量限制下，他以为，早期宇宙的研究和数学一致性的要求，“很有可能会导致我们中的某些人在有生之年获得一个完整的统一理论。”但这种理论即使有，也是“不可证的”，这也可以让我们联想到数学中的一致性问题，但霍金所说的“不可证”只不过是因为所有物理理论都可能会被第二天的实验推翻罢了。但是这并不是说我们的理论可能会错得很离谱，他通过了自然选择表达了和哥德尔类似的“乐观主义”，即在自然的环境压力下我们总是向真理逼近的，因为这才更有利于我们的生存。霍金当时的乐观是很登峰造极的，他认为得到了一个统一理论还仅仅是“第一步”，因为光得到他我们还是不能解释自己周围的每件事，我们要不断向周围的真实世界逼近，以获得更完美更有解释力的理论。
然而，事隔十五年，作为人类对统一理论的最伟大尝试的超弦理论已经得到了空前的发展，人类智慧的两大结晶—广义相对论和量子理论正在向对方伸出最关键的橄榄枝，二次革命的产物m理论吸引着世界上最优秀的理论物理学家投入其中，但是就在“形势一片大好（或者说是不比以前任何时候糟）”的时候，霍金却变了，他再次提到哥德尔定理，但是这时已经不是纯粹的哲学上的应用了。（当然我们知道哥德尔定理是不能直接应用到物理中去的，这个后面还会提到）从可得到的相关资料中我们能够获得一些具体的信息。霍金这时似乎“更懂了一点”哥德尔定理，正像我们前面所说的，哥德尔不完全定理的最根本之处是在算术系统一致性条件下找到了一个不可判定命题，霍金现在认为对于物理学也是如此。“Maybe it is not possible to formulate the theory of the Universe in a finite number of statements.”［］霍金作了一个类比，似乎现在的人们和当时希尔伯特的追随者相似，怀着一个美好的愿望，任何问题都是可解决的，只要你够聪明和刻苦。但是哥德尔定理给了有穷主义规划一个重击，至少完全形式化的有穷主义是完蛋了。对于哥德尔定理对他的新启示，他谈到：We and our models are both part of the Universe we are describing,我们并不是从这个宇宙外看宇宙的，这也就是说，物理理论是自指的，就像算术系统中可以表达自身的性质，以及指称自己的哥德尔句。看来霍金把自指看成了引起各种奇妙事情的源泉，因而他说，就像哥德尔定理对算术系统所说的那样,我们不应该为物理理论是“不完全”或者“不一致”的结果感到过于惊讶，但是与一阶算术系统的一致与完全的关系不一样，霍金认为我们现在的m理论“既不是一致的也不是完全的”。（这里的完全性当然同我们在逻辑系统中那个精确定义的语义完全性不同，先看一个插议）
插叙：众所周知，爱因斯坦晚年和哥德尔过从甚密，而有意思的是物理中的“不完全性”似乎就是是爱因斯坦最先提出来。他们两个的初次会面大概是在 1933年10月左右，哥德尔第一次访问高研院的时候。1934年2月到5月，哥德尔在高研院讲授不完全定理，应该就在这个时候，爱因斯坦接触到了哥德尔关于不完全性的工作（但未必就理解了，因为他对数理逻辑并没有太多兴趣），也许是受了哥德尔工作（的哲学意义）的启发，爱因斯坦和波多尔斯基、罗森在1935年3月合写了一篇关于物理学理论不完全性的论文，发表在5月的《物理评论》上，这篇题为《量子力学关于物理实在的描述可认为是完全的吗?》的论文中第一次提出了物理理论的“完全性概念”，并声称得到了量子力学的波函数对实在的描述不完全的结论。但是有理由相信，“使他受到启发的实际上只是“不完全性”这个词和它的不令人满意这个意思而已。”［］这里的情形是和霍金有些相似的。插叙毕。
回到我们的话题，霍金说m理论的不完全，是在下述的很实际的意义上的：在一个无穷的宇宙中，我们在空间的每一点上要能确定宇宙的波函数，我们就必须有无穷的信息密度，但是正是在这个假设中存在着一个基本问题。霍金和贝肯斯坦关于黑洞的工作显示，黑洞中的信息量与它的体积不成比例，而是和它的“边界”（那些能够和遥远事件相通的时空事件和那些因信号被强引力场捕获而不能传出去的时空事件之间的边界――“视界”Event Horizon）的面积有关,这个事实就排除了m理论可以利用无穷信息密度的可能性,霍金说：“我们需要的是一个考虑黑洞信息限制的m理论的形式化。”同时霍金认为哥德尔定理的启示在物理上有超过这个黑洞的模型所显示的东西，他说任何模型自己所包含的信息，都要被什么表达，比方说磁带上粒子的排布等，总应该是“物理的”，排列这些粒子是需要消耗能量的，这样这个模型的诞生就会改变它所要表示的那个系统的能量和信息，就像哥德尔的自指句，因而一个包括一切的理论永远不会被人们得到。这使我们立刻就会想到埃舍尔那副著名的《画廊》所展现的世界图景：也许对于这个世界的一个完整描述永远不能作为这个世界的一部分。“当然”，霍金说，“正像哥德尔定理保证了数学家永远有活可干，这对物理学家也是相同的”，霍金很高兴看到人们对宇宙的理解“永远也不会到一个终点，总会有新发现产生”，要不然物理学就停滞了。
霍金的话当然不能成为一个定理，远没有哥德尔定理那种不容致辩的惊人影响力，但是这位当代最伟大的科学家的转变至少能让我们思考的更多一些。哥德尔和霍金对我们的启示也许是这样的：不管是人自己的mind还是上帝的mind都不能明明白白的让出于这个世界的我们知道吧，还是那个老问题：认识你自己，不能解决。
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我没逻辑
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去年在国际数学家大会的同时，霍金在中科院数学所和理论物理所举行的“北京弦理论国际会议”上作了题为《哥德尔和Ｍ理论》的演讲。当时霍金回顾了历史上，亚里士多德、牛顿、拉普拉斯、麦克斯韦、笛拉克以及爱因斯坦等科学巨匠对统一的世界解释的探索，然后特别强调了哥德尔的不完全性定理对他研究的启示。他认为，迄今为止我们所有的理论体系都存在着悖论，它们不是不一致的，就是不完备的。关于霍金这次讲演的细节，各种报道都语焉不详，从上面的一点点信息我们只能被误导，那么究竟霍金是在什么意义上谈论哥德尔定理，并确信物理理论是“不完全”的呢？下面就我自己掌握的资料谈谈我的看法。
霍金自去年在国际弦论大会上的演讲之后，又在今年的几次演讲中特别提到了哥德尔定理对于他的工作的启发，霍金最初较为明确的表述他的思想是在去年剑桥大学纪念狄拉克百年诞辰的演讲"Godel and the end of physics"中，在三月份他还在Texas A&M大学进行了同样主题的演讲，在四月加州大学戴维斯分校也做过类似主题的演讲。我们应该还记得，在霍金著名《时间简史》的封底写着这么一句话：“...for then we would know the mind of God”,但现在看来似乎m理论的发展并没有给霍金带来对统一理论的更多信念，the mind of god对他来说，似乎是个impossible puzzle。这可以说是霍金对于大统一理论态度的一个转变，那么究竟是什么使他他发生这种转变，哥德尔定理在其中又扮演了什么角色呢？
从为数不多的渠道我们可以获得一点稍微具体的信息。先让我们回顾一下历史，早在弦论的第二次革命前，霍金就曾表达过对大一统理论的怀疑。当时他也谈到了哥德尔定理：“……人们探索了这个基本理论，但是迄今毫无成就。因为哥德尔指出，不可能用单独的一组公理系统来表述算术。我相信这儿的情形不可能比它更好，基本理论不可能存在单独的表述……”［］，霍金作了一个形象的比喻：“这犹如你不可能只用一张单独的地图去描述地球或者锚圈的表面：在地球的情形下，你至少需要两张地图去覆盖每一点，而在锚圈的情形下，则需要四张。每张地图只对一个有限的区域有效，但是不同的地图有一个交叠的区域。整族地图就为该表面提供了完整的描述。” 但霍金认为统一理论是不是真的存在恩共有三种可能（有趣的是这里很像我们当才对哥德尔关于是不是有一个能推出所有数学定理的图灵机的讨论类似）（1）确实存在一个完整的统一理论，如果我们足够聪明的话，总有一天将会找到它。 （2）并不存在宇宙的最终理论，仅仅存在一个越来越精确地描述宇宙的无限的理论序列。 （3）并不存在宇宙的理论；事件在一定程度之外不可能被预言，仅仅是以一种紊乱或任意的方式发生。虽然量子力学的测不准原理给了最后一种可能性一个理由，然而霍金认为按照重新定义科学的目标，就能有效地排除了第三种可能性：“因为我们的目的只在于表达一套定律，这些定律能使我们在不确定性原理的极限内预言事件。”霍金认为第二种可能性更容易接受，但是基于他自己对于黑洞的工作，他认为“越来越精密的理论序列应当有某一极限，所以必须有宇宙的终极理论。”在当时的和以后所能实现的加速器的能量限制下，他以为，早期宇宙的研究和数学一致性的要求，“很有可能会导致我们中的某些人在有生之年获得一个完整的统一理论。”但这种理论即使有，也是“不可证的”，这也可以让我们联想到数学中的一致性问题，但霍金所说的“不可证”只不过是因为所有物理理论都可能会被第二天的实验推翻罢了。但是这并不是说我们的理论可能会错得很离谱，他通过了自然选择表达了和哥德尔类似的“乐观主义”，即在自然的环境压力下我们总是向真理逼近的，因为这才更有利于我们的生存。霍金当时的乐观是很登峰造极的，他认为得到了一个统一理论还仅仅是“第一步”，因为光得到他我们还是不能解释自己周围的每件事，我们要不断向周围的真实世界逼近，以获得更完美更有解释力的理论。
然而，事隔十五年，作为人类对统一理论的最伟大尝试的超弦理论已经得到了空前的发展，人类智慧的两大结晶—广义相对论和量子理论正在向对方伸出最关键的橄榄枝，二次革命的产物m理论吸引着世界上最优秀的理论物理学家投入其中，但是就在“形势一片大好（或者说是不比以前任何时候糟）”的时候，霍金却变了，他再次提到哥德尔定理，但是这时已经不是纯粹的哲学上的应用了。（当然我们知道哥德尔定理是不能直接应用到物理中去的，这个后面还会提到）从可得到的相关资料中我们能够获得一些具体的信息。霍金这时似乎“更懂了一点”哥德尔定理，正像我们前面所说的，哥德尔不完全定理的最根本之处是在算术系统一致性条件下找到了一个不可判定命题，霍金现在认为对于物理学也是如此。“Maybe it is not possible to formulate the theory of the Universe in a finite number of statements.”［］霍金作了一个类比，似乎现在的人们和当时希尔伯特的追随者相似，怀着一个美好的愿望，任何问题都是可解决的，只要你够聪明和刻苦。但是哥德尔定理给了有穷主义规划一个重击，至少完全形式化的有穷主义是完蛋了。对于哥德尔定理对他的新启示，他谈到：We and our models are both part of the Universe we are describing,我们并不是从这个宇宙外看宇宙的，这也就是说，物理理论是自指的，就像算术系统中可以表达自身的性质，以及指称自己的哥德尔句。看来霍金把自指看成了引起各种奇妙事情的源泉，因而他说，就像哥德尔定理对算术系统所说的那样,我们不应该为物理理论是“不完全”或者“不一致”的结果感到过于惊讶，但是与一阶算术系统的一致与完全的关系不一样，霍金认为我们现在的m理论“既不是一致的也不是完全的”。（这里的完全性当然同我们在逻辑系统中那个精确定义的语义完全性不同，先看一个插议）
插叙：众所周知，爱因斯坦晚年和哥德尔过从甚密，而有意思的是物理中的“不完全性”似乎就是是爱因斯坦最先提出来。他们两个的初次会面大概是在 1933年10月左右，哥德尔第一次访问高研院的时候。1934年2月到5月，哥德尔在高研院讲授不完全定理，应该就在这个时候，爱因斯坦接触到了哥德尔关于不完全性的工作（但未必就理解了，因为他对数理逻辑并没有太多兴趣），也许是受了哥德尔工作（的哲学意义）的启发，爱因斯坦和波多尔斯基、罗森在1935年3月合写了一篇关于物理学理论不完全性的论文，发表在5月的《物理评论》上，这篇题为《量子力学关于物理实在的描述可认为是完全的吗?》的论文中第一次提出了物理理论的“完全性概念”，并声称得到了量子力学的波函数对实在的描述不完全的结论。但是有理由相信，“使他受到启发的实际上只是“不完全性”这个词和它的不令人满意这个意思而已。”［］这里的情形是和霍金有些相似的。插叙毕。
回到我们的话题，霍金说m理论的不完全，是在下述的很实际的意义上的：在一个无穷的宇宙中，我们在空间的每一点上要能确定宇宙的波函数，我们就必须有无穷的信息密度，但是正是在这个假设中存在着一个基本问题。霍金和贝肯斯坦关于黑洞的工作显示，黑洞中的信息量与它的体积不成比例，而是和它的“边界”（那些能够和遥远事件相通的时空事件和那些因信号被强引力场捕获而不能传出去的时空事件之间的边界――“视界”Event Horizon）的面积有关,这个事实就排除了m理论可以利用无穷信息密度的可能性,霍金说：“我们需要的是一个考虑黑洞信息限制的m理论的形式化。”同时霍金认为哥德尔定理的启示在物理上有超过这个黑洞的模型所显示的东西，他说任何模型自己所包含的信息，都要被什么表达，比方说磁带上粒子的排布等，总应该是“物理的”，排列这些粒子是需要消耗能量的，这样这个模型的诞生就会改变它所要表示的那个系统的能量和信息，就像哥德尔的自指句，因而一个包括一切的理论永远不会被人们得到。这使我们立刻就会想到埃舍尔那副著名的《画廊》所展现的世界图景：也许对于这个世界的一个完整描述永远不能作为这个世界的一部分。“当然”，霍金说，“正像哥德尔定理保证了数学家永远有活可干，这对物理学家也是相同的”，霍金很高兴看到人们对宇宙的理解“永远也不会到一个终点，总会有新发现产生”，要不然物理学就停滞了。
霍金的话当然不能成为一个定理，远没有哥德尔定理那种不容致辩的惊人影响力，但是这位当代最伟大的科学家的转变至少能让我们思考的更多一些。哥德尔和霍金对我们的启示也许是这样的：不管是人自己的mind还是上帝的mind都不能明明白白的让出于这个世界的我们知道吧，还是那个老问题：认识你自己，不能解决。
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